Dishes and cups

Hoy, por primera vez en 26 años que llevo librando mi particular guerra contra las matemáticas, acabo de descubrir que probablemente no sólo pueda alcanzarse un armisticio este semestre, sino probablemente firmar la paz, aunque sea por poco tiempo.

Es muy, pero muy interesante el hecho de que haber tomado álgebra lineal con la maestra ha sido lo mejor que he hecho para aprender matemáticas desde que me enseñaron que uno mas uno es dos. Por primera vez he entendido qué función tienen las matrices en la resolución de problemas, y lo que no había entendido hace diez años ahora lo entendí con gran facilidad.

Y todo por el hecho de que cero es igual a cero. ésto, por sí mismo, no es sorprendente; lo sorprendente es que, mientras hasta antes de las seis de la tarde resolver un problema y obtener que cero es igual a cero para mí implicaba que el problema tenía infinitas soluciones: ahora me entero que, de acuerdo a las condiciones en el problema, las condiciones no son infinitas sino finitas y enumerables.

Ahora bien, ¿cómo fue que la maestra nos llevó a la bola de borregos del salón que eso era no sólo cierto sino verídico y además verdad? Con platos y tazas. Y una vez con tatos y plazas, pero eso fue un simple lapsus linguae.

Imagínese usted, lector, lectora, lectriz, que es usted fabricante de platos y tazas; tiene usted una fábrica automática y un presupuesto limitado. Para fabricar una taza y un plato se usa el mismo material, pero en diferentes cantidades. Cada taza requiere tres minutos para ser fabricada, mientras que cada plato requiere únicamente dos. Cada taza se vende a 25 pesos, en tanto que cada plato se vende a 20. Son platos y tazas finos, por supuesto. Si en ocho horas de trabajo la suma de platos y tazas que se fabricó puede venderse en 4400 pesos, ¿cuántos platos y tazas se fabricaron?

Una estrategia para averiguarlo puede ser por fuerza bruta. Batman, por ejemplo, suele golpear borrachos, escoria y criminales de baja estofa en los callejones de Ciudad Gótica hasta obtener una respuesta. Pero utilizando herramientas matemáticas podemos resolver esas incógnitas, y no se necesita nada más que haber terminado la prepa con un buen maestro. Primero, observemos qué datos tenemos y nombrémoslos. Tenemos platos, a los que llamaremos X, y tazas, a los que llamaremos Y.  Con esto, podemos obtener los siguientes datos:

Tazas: $25 pesos, 3 minutos.
Platos: $20 pesos, 2 minutos.
Total: $4400 pesos, 8 horas.

Para averiguar cuántas tazas y platos se fabricaron nos basta con preguntarnos : «¿Cuántas tazas, que tardan 3 minutos en hacerse, y cuántos platos, que tardan 2 minutos en hacerse, pueden fabricarse en ocho horas?» Para respondernos, en cambio, tenemos que utilizar medidas homogéneas, así que deberemos convertir las horas en minutos. Podemos terminar preguntándole a Google, o mejor aún, acudir al análisis dimensional: 8 horas * 60 minutos sobre hora = 480 minutos por hora sobre hora, y cancelando unidades nos quedan 480 minutos.

La ecuación que nos permite calcular cuántas tazas y platos se fabrican puede representarse en símbolos matemáticos como sigue:

2X + 3Y = 480.

Lo que en español significa «A razón de dos minutos por plato y tres minutos por taza, la suma de las tazas y los platos se fabrican en 480 minutos.» Pero también tenemos una segunda ecuación, la que nos permite calcular cuánto valen las tazas y los platos vendidos:

20X + 25Y = 4400.

Lo que en español significa «A razón de 20 pesos por plato y 25 pesos por taza, la suma de las tazas y los platos vale 4400 pesos.» Aquí tenemos dos incógnitas: X, que es el número de platos, y Y, que es el número de tazas. Pero no podemos avanzar más porque no tenemos ni la más repajolera idea de cuántas tazas y cuántos platos se fabricaron. ¡Si tan sólo alguien pudiera resolvernos este dilema existencial! Ah, pero es que sí hay alguien, y no es necesariamente un matemático al que le paguemos un billete para resolver el problema, no: nosotros podemos hacerlo. Lo único que tenemos qué hacer es despejar una incógnita.

Pero tenemos dos, ¿no es así? Pues sí, pero una de ellas podemos hacerla codependiente, esto es, que dependa de la otra para obtener un resultado. Vamos, pues, a despejar la X en la primera ecuación.

2X + 3Y = 480.

Primero, necesitamos dejar a la X sola. Primero, sumaremos una cantidad igual a ambos lados de la ecuación con el propósito de dejarla igual, pero a su vez diferente. Algo así:

2X + 3Y – 3Y = 480 – 3Y.

La ecuación sigue valiendo lo mismo, pero al simplificarla es como si hubiéramos pasado un término de un extremo al otro, invirtiéndole el signo en el proceso:

2X = 480 – 3Y.

Ahora es necesario dejar a la X sola. Para ello, vamos a dividir cada lado de la ecuación entre dos:

2X/2 = 480/2 – 3Y/2.

Y al simplificar, es igual a que si la X quedara sola:

X = 240 – (3/2)Y ← Pronúnciese este último término como «tres medios de yé».

Listo, ya sabemos cuánto vale X: vale 240 minutos menos tres medios de Yé. Pareciera que no nos sacó de muchos apuros, cuando la verdad es que en este momento ya hemos resuelvado ido ando iendo to so cho mira con to si suena bonito resuelto la mitad del problema.

Ahora podemos trabajar con la segunda ecuación:

20X + 25Y = 4400.

Sólo que ahora sabemos cuánto vale X. Sustituyendo su valor, la ecuación queda como sigue:

20 [240 - (3/2)Y] + 25Y = 4400.

Realizamos aritmética por expansiones:

20(240) – 20[(3/2)Y] + 25Y = 4400.
4800 – (60/2)Y + 25Y = 4400.
4800 – 30Y +25Y = 4400.
4800 – 5Y = 4400.

Ahora hemos hecho desaparecer las X. Sólo nos quedan las Y. Pues despejemos las Y para saber cuánto valen. Primero, procederemos a mover las  Y de extremo y a convertirlas en positivas; así pues, sumamos 5Y a cada lado de la ecuación.

4800 -5Y +5Y = 4400 + 5Y.
4800 = 4400 + 5Y.

Y ahora quitaremos los 4400 que están del lado de las Y, restándolas a ambos lados.

4800 – 4400 = 4400 – 4400 + 5Y
400 = 5Y

Excelente. Ahora sólo basta dividir entre cinco cada lado, para dejar una Y sola en un extremo.

400/5 = 5Y/5
80 = Y.

Ahí tenemos la respuesta. Y vale 80 en la segunda ecuación. Por tanto, si Y vale 80, entonces ya podemos reemplazar su valor en la primer ecuación.

2X + 3Y =  480.
2X + 3(80) = 480.
2X + 240 = 480.

Despejamos X:

2X + 240 – 240 = 480 – 240.
2X = 240.
2X/2 = 240/2.
X = 120.

Ahí está. X vale 120. Por tanto, la ecuación queda numéricamente como sigue:

2(120) + 3(80) = 480.
240 + 240 = 480.
480 = 480. √

Lo que expresado en español es: «a razón de dos minutos por plato y 3 minutos por taza, 120 platos y 80 tazas se fabrican en 480 minutos.»

Correcto. Ahí está. Perfecto. Verificado y comprobado. Hemos llegado a una respuesta exacta, válida, comprobada y verificada, y hemos resuelto un sistema sencillo de ecuaciones con dos incógnitas. Pues bien, es la primera vez que soy capaz de darme cuenta de los pasos que se debían seguir para lograrlo. Desde que comencé a estudiar álgebra, en la secundaria, hace ya 20 años, ningún profesor me había explicado, con platos y tazas, el porqué se debían hacer las cosas de esta manera con X y Y y qué representaban X y Y. Por primera vez me he dado cuenta de que X y Y no representaban lo que las ecuaciones me decían que representaban, sino lo que las ecuaciones necesitaban que representaran. Hasta hoy, en la primer ecuación yo pensaba que X y Y representaban minutos.  No: representan tazas y platos. En la segunda ecuación pensé que X y Y representaban pesos. No: representan tazas y platos. Sencillamente a lo largo de éstos 20 años sólo una maestra me ha hecho notar que, aunque no puedo sumar minutos y pesos, sí puedo sumar tazas. Esto a su vez me ha abierto una opción más en mi abanico de posibles soluciones en las ecuaciones algebraicas: ahora veo que un  sistema de ecuaciones dado no tiene soluciones únicas e infinitas, sino que tiene soluciones únicas O finitas O no tiene soluciones razonables, y esto último no significa necesariamente que no tenga soluciones. La forma en la que llegamos a esa conclusión la comentaré mañana.

Vean ustedes cómo estoy de alegre que me dí el lujo de transmitirle a ustedes lo que aprendí, si bien de una manera bastante burda y francamente estúpida. Si tuviéramos más maestros de matemáticas como mi maestra de Álgebra Lineal, otro gallo nos cantara: acabo de aprender más matemáticas que en los seis meses de la clase de Precálculo, y mire usted, estimado lector, lectora, lectriz, que esto de hoy fue un mero repaso.

Quedo de ustedes:

Quien Resulte Responsable.