More dishes and cups

Ayer mencionaba yo que por primera vez las matemáticas y yo habíamos logrado un cese al fuego. Pues bien, hagamos una variación al problema de las tazas y los platos y veamos si la tregua dura.

Imagínese usted, lector, lectora, lectriz, que es usted otro fabricante de platos y tazas. De nueva cuenta, fabricar una taza requiere tres minutos y un plato requiere dos. Pero ésta vez cada taza se vende por 15 pesos y cada plato por 10. Si en ocho horas de trabajo la suma de platos y tazas que se fabricó puede venderse en 2400 pesos, ¿cuántos platos y tazas se fabricaron?

Nuestros platos siguen siendo X, y nuestras tazas, Y.  Con esto, podemos obtener los siguientes datos:

Tazas: $15 pesos, 3 minutos.
Platos: $10 pesos, 2 minutos.
Total: $2400 pesos, 8 horas.

Nuestro juego de ecuaciones varía sólo un poco, y de hecho es sólo la segunda donde cambiamos los datos:

Ecuación A) 2X + 3Y = 480.
Ecuación B) 10X + 15Y = 2400.

Sólo por no regresar al artículo anterior a ver la fórmula, vamos otra vez a despejar la X en la primera ecuación. Ya conocemos el procedimiento, así que me limitaré a dejar los cálculos indicados:

2X + 3Y = 480.
2X = 480 – 3Y.
2X/2 = 480/2 – 3Y/2.
X = 240 – (3/2)Y.

Una vez más llegamos a la conclusión de que Equis vale 240 menos tres medios de Yé. Ahora podemos trabajar con la segunda ecuación, sabiendo el valor de X:

10X + 15Y = 2400.
10 [240 - (3/2)Y] + 15Y = 2400.
2400 – (30/2)Y + 15Y = 2400.
2400 – 15Y + 15Y = 2400.
15Y – 15Y = 2400 – 2400.
0 = 0

Ah, carajo. ¡Han desaparecido nuestros datos! Tal vez hemos cometido errores. Pero no puede ser: yo nunca cometo errores tan gordos en aritmética. En álgebra sí, pero no en aritmética. Volvamos atrás y comprobemos el problema.

10X + 15Y = 2400.
10 [240 - (3/2)Y] + 15Y = 2400.
2400 – (30/2)Y + 15Y = 2400.
2400 – 15Y + 15Y = 2400.
2400 = 2400.

Definitivamente pasa algo raro aquí. ¿Pero qué? En este punto los estudiantes solemos sumirnos en confusión, lo que las matemáticas aprovechaban para invadir nuestra posición y masacrarnos. Pero mi maestra nos ha dado una clave que antes no sabíamos reconocer como tal: si llegamos a una equivalencia, lo que pasa es que ese problema tiene múltiples soluciones. Nuestra solución parcial ya la conocemos, es el valor de X. X es, por tanto, una variable dependiente: tomará un valor cada vez que Y tome un valor. Y puede tomar cualquier valor, por tanto, es una variable independiente. Hagamos unos pequeños ejemplos para confirmar ésta afirmación:

Y = 0 → 240 – (3/2)0 = 240 – 0 = 240
Y = 1 → 240 – (3/2)1 = 240 – 1.5 = 238.5
Y = 2 → 240 – (3/2)2 = 240 – 3 = 237
Y = 3 → 240 – (3/2)3 = 240 – 4.5 = 235.5
Y = 4 → 240 – (3/2)4 = 240 – 6 = 234
Y = 6 → 240 – (3/2)6 = 240 – 9 = 231
Y = 10 → 240 – (3/2)10 = 240 – 15 = 225
Y = 100 → 240 – (3/2)100 = 240 – 150 = 90
Y = 240 → 240 – (3/2)240 = 240 – 360 = -120
Y = 1000 → 240 – (3/2)1000 = 240 – 1500 = -1260

Podemos observar que, si bien matemáticamente todas las respuestas son válidas, no todas lo son en los términos del problema original; esto es, sus soluciones son múltiples pero finitas. Ésto fue algo que nadie me había explicado antes, y por tanto, no lo conocía. Observen ustedes bien de lo que se trata el asunto: Yé no puede tomar un valor muy alto porque en ese caso X genera números negativos, y no podemos fabricar cosas negativas. Yé tampoco puede tomar un valor negativo porque entonces X tendría más material del que especifica el problema. Yé tampoco puede utilizar números impares porque habría desperdicio de material. De ahí deducimos que para que los valores de X se ajusten a nuestro problema, Yé debe ser un número real, no puede exceder de 160, y no puede ser impar.

Y = 160 → 240 – (3/2)160 = 240 – 240 = 0

En español, ésto significa: «A razón de dos minutos por plato y 3 minutos por taza, en 480 minutos podrán fabricarse hasta 160 tazas, hasta 240 platos, o una combinación de ellas cuya suma se cuenta en múltiplos de tres platos y dos tazas.»

Fíjense ustedes nada más qué cosa: acabamos de descubrir que un problema puede tener más de una solución, y que la solución final depende de los valores con que alimentemos un problema. Ésto es, sin temor a equivocarme, la primera vez que alguien me explica con platos y tazas que un problema puede tener soluciones ajustables a nuestras necesidades: si un día tuviéramos un excedente de tazas y necesitáremos platos, podríamos sencillamente cambiar nuestros parámetros y producir más platos y menos tazas sin salirnos del presupuesto. ¡Por fin algo que alcanzo a comprender! ¡Las matemáticas tienen una aplicación en el mundo real! Esta revelación fue para mí tan impactante que dejé de escribir en mi cuaderno. Normalmente soy capaz de ir anotando lo que dice el maestro al mismo tiempo que le pongo atención; una variación del proceso de escritura automática que tan buenos resultados me ha dado para tomar notas en clase. Pero esta vez estaba yo cual baño de asiento: ano-nadado. Estaba yo tan concentrado que cuando la maestra preguntó algo, de hecho le respondí correctamente, en lugar de limitarme a quedarme callado, como ha sido mi norma en esta nueva etapa de mi vida de ingeniebrio, para no presumir ante mis novatos compañeros de poseer más erudición que ellos, y además para no quedar como el pinche viejito pendejo que no sabe lo que le preguntan.

La maestra entonces procedió a hacer una pregunta que cambiaría aún más mi vida. No la pregunta en sí, sino la respuesta. Ya pregunta era muy sencilla: « ¿Qué pasa si aumentamos ligeramente el presupuesto? 2500 en lugar de 2400 pesos.»

Tazas: $15 pesos, 3 minutos.
Platos: $10 pesos, 2 minutos.
Total: $2500 pesos, 8 horas.
Ecuación A) 2X + 3Y = 480.
Ecuación B) 10X + 15Y = 2500.
Despeje 1) X = 240 – (3/2)Y.

Resolvamos:

10X + 15Y = 2500.
10 [240 - (3/2)Y] + 15Y = 2500.
2400 – (30/2)Y + 15Y = 2500.
2400 – 15Y + 15Y = 2500.
15Y – 15Y = 2500 – 2400.
0 = 100.

El resultado es una igualdad ilógica, lo cual, hasta ayer en la tarde, para mí implicaba un error en la resolución del problema. Pero, nos explicó la maestra, esto no significa que el problema sea el problema; su razonamiento: las condiciones del problema tienen una variable adicional. Como hemos visto con el ejemplo anterior, el problema tiene una solución que puede aplicarse al problema actual, cuyos datos son mayores, y cumplirse, siempre y cuando a nuestra solución le agreguemos un parche que explique la variable adicional:

«A razón de dos minutos por plato y 3 minutos por taza, en 480 minutos podrán fabricarse hasta 160 tazas, hasta 240 platos, o una combinación de ellas cuya suma se cuenta en múltiplos de tres platos y dos tazas, y sobrará material con valor de cien pesos.»

Ésto es, sin duda alguna, algo que ayer antes de las mil setecientas no se me hubiera ocurrido. Cuando salí de clase uno de mis compañeros y yo platicamos de que es la primera vez que veíamos que las clases de matemáticas realmente servían para algo que no fuera hacer números a lo baboso. Si así me hubieran explicado matemáticas en segundo semestre de la facultad, en 1996, seguramente no habría reprobado la materia. Aún recuerdo claramente ese frío día de invierno en el aula 23 del edificio X en la extinta Facultad de Informática y Computación; era febrero, y le preguntamos al máistro Vladimir para qué nos serviría el aprender a resolver matrices. El máistro se limitó a respondernos «Pues para que puedan aprobar el siguiente semestre.»

Pero la maestra no estaba conforme de que lo hiciéramos sólo por esos métodos: debíamos hacerlo por medios matemáticos. Pero ahora que ya sabemos qué resultados debemos obtener, es tiempo de aprender a hacerlo por el método más simple de todos: por matrices. Claro está que nosotros no conocíamos las matrices; y por tanto, no podíamos en pensar en aplicarlas si antes no las conocíamos. Pero ésto, si me da mi chingada gana, lo explicaré mañana.

Quedo de ustedes:

Quien Resulte Responsable.